페르마의 정리(Fermat’s Theorem)란?

페르마의 정리(Fermat’s Theorem)란?

페르마의 정리라고 하면 여러 가지 수학적 개념이 있지만, 가장 유명한 것은 **“페르마의 마지막 정리(Fermat’s Last Theorem)”**입니다. 이 정리는 **피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)**가 1637년에 주장한 정리로, 수학 역사상 가장 어려운 문제 중 하나로 여겨졌습니다.

1. 페르마의 마지막 정리(Fermat’s Last Theorem)

정리(statement):

x^n + y^n = z^n

의 정수해(자연수 해)를 찾는다고 할 때, n이 2보다 큰 정수라면 이 방정식을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다.

즉, n \geq 3 인 경우에는 x, y, z 가 모두 0이 아닌 정수 해를 가질 수 없다는 것입니다.

2. 페르마의 마지막 정리의 역사

• 1637년: 페르마는 이 정리를 처음 주장하면서, 책 여백에 “나는 정말로 멋진 증명을 발견했지만, 여백이 부족해서 적지 않는다(I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain.)” 라는 말을 남겼습니다.
• 18세기~19세기: 많은 수학자들이 n=3,4,5,7 등의 특수한 경우를 증명했지만, 일반적인 증명은 찾지 못했습니다.
• 1994년: 영국 수학자 **앤드류 와일스(Andrew Wiles)**가 **타니야마-시무라 예측(Taniyama–Shimura conjecture)**과 엘립틱 곡선(Elliptic Curve)의 이론을 활용하여 완전한 증명을 제시했습니다. 이는 현대 수학의 위대한 성과 중 하나로 평가받습니다.

3. 페르마의 마지막 정리와 피타고라스 정리의 차이

페르마의 정리는 피타고라스 정리와 밀접한 관계가 있습니다.
• 피타고라스의 정리:

a^2 + b^2 = c^2

• 예:  3^2 + 4^2 = 5^2 , 즉 9 + 16 = 25 가 성립합니다.
• 이러한 정수해 (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25) 등을 **피타고라스 수(Pythagorean triples)**라고 합니다.
• 페르마의 마지막 정리:
• n이 2보다 큰 경우에는 x^n + y^n = z^n 형태의 정수해가 존재하지 않습니다.
• 예를 들어, 3^3 + 4^3이나 5^3 + 6^3 같은 형태로는 어떤 정수해도 찾을 수 없습니다.

4. 페르마의 마지막 정리의 영향

• 이 정리는 **수론(Number Theory)**의 발전에 큰 영향을 주었습니다.
• **모듈러 형식(모듈러 함수, Modular Forms)**과 엘립틱 곡선(Elliptic Curves) 같은 현대 수학의 중요한 개념이 개발되는 계기가 되었습니다.
• 350년 동안 풀리지 않았던 문제였기 때문에, 수학자들의 도전정신을 자극한 대표적인 난제였습니다.

5. 결론

페르마의 마지막 정리는 다음과 같이 요약할 수 있습니다:
• x^n + y^n = z^n 의 정수해는 n>=3일 때 존재하지 않는다.
• 페르마는 간단한 증명이 있다고 주장했지만, 실제 증명은 1994년 앤드류 와일스에 의해 현대 수학을 사용하여 이루어졌다.
• 이 정리는 수론과 현대 수학 발전에 결정적인 역할을 했다.